Mesurer la Lune avec Kepler, Thalès et mon bras

4 novembre 2016 Astronomie, Mathématiques, Physique Comments 0 Comment

La Lune, c’est un gros truc brillant dans le ciel. OK, mais gros comment ? J’irais bien mesurer sur place mais

j’ai juste un mètre déroulant de 5 m;
il faut quand même se tailler la route.

Mais ça, c’est pas un problème en fait. Faut juste calculer quelques petits trucs avant. Sans oublier que je fais des grosses approximations ;).

Calcul de la période de révolution de la Lune autour de la Terre

Première étape : calculer le temps que met le Lune à faire le tour de la Terre. Si vous avez déjà levé le nez en l’air le soir (si ce n’est pas le cas : sérieusement ?), vous avez déjà vu les différentes phases de la Lune. Ces phases se succèdent tout au long d’un cycle durant environ 29 jours et demi. Cependant, la Lune met moins de temps que ça pour faire le tour de la Terre.

Sur ce schéma, on peut voir une nouvelle Lune en `T_0`. En `T_t`, la Lune a fait un tour de Terre mais à cause de la rotation de la Terre autour du Soleil, elle n’a pas retrouvé sa position entre la Terre et le Soleil, ce qu’elle fera en `T_l`. Il s’est donc écoulé 29,5 jours entre `T_0` et `T_l`. Nous allons chercher à calculer la durée `t` écoulée entre `T_0` et `T_t`.

Les angles `alpha` et `theta` présents sur le schéma sont alternes-internes et donc égaux, les droites grises étant parallèles entre elles.
`theta` est parcouru par la Terre en 29,5 jours, sur les 365,25 jours de sa rotation autour du Soleil. On a donc `theta=2pi29.5/365.25`.
`alpha` est parcouru par la Lune entre `T_t` et `T_l`, sur une période de `29.5-t` jours sur les `t` jours de révolution autour de la Terre. On a donc `alpha=2pi(29.5-t)/t`.

Vu que les deux angles sont égaux, on obtient `29.5/365.25=(29.5-t)/t` et il n’y a plus qu’à dérouler le calcul.
`365.25(29.5-t)=29.5t`
`394.75t=365.25xx29.5`
On obtient finalement `t=27.2954` jours. Mais vu qu’ici on aime bien les unités du Système International, on va plutôt écrire `t=27.2954xx86400=2.35832*10^6 s`.

Calcul de la distance Terre-Lune

Deuxième étape : calculer la distance entre la Terre et la Lune. Plus précisément, on va calculer le demi-grand axe de la Lune grâce à une jolie formule appelée troisième loi de Kepler ou loi des périodes. Appliquée au couple Terre-Lune, ça donne `((2pi)/P)^2a^3=G(M_T+M_L)`, avec :

`P` la période de révolution de la Lune autour de la Terre (exactement ce qu’on a calculé précédemment, c’est dingue ce que ce post est bien écrit);
`a` le demi-grand axe recherché;
`G` la constante gravitationnelle;
`M_T` la masse de la Terre;
`M_L` la masse de la Lune.

En considérant que la masse de la Lune est négligeable par rapport à celle de la Terre, on peut réduire la formule : `((2pi)/t)^2a^3=GM_T`. Ce qui nous donne `a=root(3)((GM_T t^2)/(4pi^2))`.

Pour réaliser le calcul, on va utiliser les valeurs communément admises de `G` et `M_t`, soit :

`G=6.674*10^-11 m^3kg^-1s^-2`;
`M_T=5.9736*10^24 kg`.

On obtient ainsi `a=3.82963*10^8 m`, soit 382963 km quand on le met en forme pour les humains.

Mesure du diamètre de la Lune

Voici venu non pas le temps des rires et des chants (quoique) mais le moment de la mesure. Après avoir reçu de l’aide de notre vieil ami Kepler, on va maintenant faire appel à un ami encore plus vieux en la personne de Thalès en se mettant dans la configuration suivante.

Vu que ce schéma est trop joli, je vais l’expliquer un peu. En haut à gauche, on peut voir Terre I; nous nous intéresserons ici à son diamètre `L_0L_1`, que nous cherchons à calculer depuis le début de ce post, il serait temps quand même. À droite, c’est l’humain qui écrit ces mots, qui tend un bras de `O` à `R_0`. Le dit bras tient à son extrémité une règle et est levé de manière à ce que l’œil de l’humain, placé en `O` (du mieux possible, vu la souplesse du machin), voit le 0 de la règle aligné avec `L_0` puis observe la marque coïncidant avec le point `L_1`. On peut ainsi mesurer la longueur du segment `R_0R_1`.

Et c’est là qu’on appelle notre copain le théorème de Thalès. Si on est pas trop maladroit, on peut considérer les droites `L_0L_1` et `R_0R_1` comme étant parallèles, et donc écrire `(R_0R_1)/(L_0L_1)=(OR_0)/(OL_0)`. Ce qui fait que notre diamètre lunaire `d` vaut `d=L_0L_1=(OL_0*R_0R_1)/(OR_0)`.

`OL_0`, c’est la distance Terre-Lune `a` calculée juste au-dessus (décidément, que de logique dans l’organisation de cet article), `R_0R_1` est la mesure `m` effectuée à la règle et `OR_0`, c’est la longueur `b` du bras de votre serviteur. Ce qui donne au final `d=(am)/b`.

Mon bras droit mesure `b=76 cm` (jusqu’au pouce, le reste est replié pour tenir la règle) et me permet d’observer `m=7 mm`. Ce qui donne donc `d=3527.29 km`.

Et sinon, en vrai, ça donne quoi ?

En vrai (c’est à dire avec des mesures réalisés par des gens plus compétents que moi et qui utilisent du vrai matériel), on obtient une mesure du rayon polaire de la Lune de 1736 km, soit un diamètre de 3472 km au niveau des pôles.

Bon, mon estimation est pas si mal. Surtout avec toutes les approximations faites.

Pour le calcul des angles `alpha` et `theta`, les orbites ont été considérées comme étant circulaires.
Les durées d’une lunaison et d’une année sont elles-même approximées.
La masse de la Lune n’est pas si négligeable par rapport à celle de la Terre (en réalité, la masse de la Lune représente 1,23% de celle de la Terre).
La distance Terre-Lune lors de la mesure n’est pas celle du demi-grand axe et peut ainsi varier jusqu’à 30000 km selon le moment de la mesure (ainsi, lors de ma mesure, la Lune se trouvait à 402000 km de distance).
Thalès n’a pas grand chose à voir avec le théorème de Thalès (désolé de casser un mythe).

Voici ainsi les valeurs communément admises pour certaines données utilisées ou calculées ici.

Durée d’une année : `365,256363 j`.
Durée d’une lunaison : `29.530589 j`.
Durée d’une révolution lunaire : `t=27.321582 j=2.36058*10^6 s`.
Demi-grand axe lunaire : `a=3.84399*10^8 m`.

Puis il y a surtout l’imprécision totale de la mesure faite à la règle : une si petite longueur mesurée avec une règle d’une piètre précision, il y a forcément du dégât…

Sauvons du papier, programmons les calculs

Pour finir, voici une petite calculatrice faite maison, afin de calculer le diamètre de la Lune suivant la méthode décrite tout au long de cet article.

Les quatre premiers champs sont des données à renseigner. Par défaut, les valeurs présentes sont celles utilisées dans ce post mais elles peuvent être modifiées librement. Il est également possible de remplir les champs contenant les durées de révolution terrestre ou de lunaison avec les valeurs communément admises, en cliquant sur les boutons correspondants.

Les deux champs suivants concernant `t` et `a`. Le comportement par défaut est de faire le calcul en utilisant les données présentes dans les champs précédents. Mais il est aussi possible, en cochant la case correspondante, d’utiliser la valeur communément admise ou de pouvoir renseigner une valeur personnelle.

Le dernier champ indique enfin le diamètre lunaire, automatiquement calculé suivant les valeurs des autres champs. Have fun :).

Durée d’une révolution terrestre `P_T=` jours	Durée d’une lunaison `L=` jours
Longueur de bras `b=` cm	Mesure apparente de la Lune `m=` mm
Durée d’une révolution lunaire `t=(P_T*L)/(P_T+L)=` jours Utiliser la valeur commune Définir une valeur personnelle
Demi-grand axe lunaire `a=root(3)((GM_T t^2)/(4pi^2))=``*10^8` m Utiliser la valeur commune Définir une valeur personnelle
Diamètre lunaire `d=(am)/b=` km

Divagations