Au moment où cet article est publié, le Père Noël est en pleine distribution de cadeaux, parcourant le monde à bord de son traîneau. Et là, en tant que scientifique rationnel, cela soulève tout un tas d’interrogations : comment tout cela est-il possible ? Petite étude à partir de divers éléments à notre disposition, qui nous permettra peut-être de percer certains mystères de cet être méconnu qu’est le Père Noël.

Trajet

Le Père Noël parcourt le monde pour offrir des cadeaux aux enfants, durant la nuit du 24 au 25 décembre. Cela signifie donc qu’il dispose d’une heure pour parcourir chaque fuseau horaire (à peu près, les humains étant suffisamment casse-couilles pour créer des fuseaux en décalage d’une demi-heure ou d’un quart d’heure). On peut donc tracer un trajet approximatif du Père Noël durant son périple.

Sont délimités en rouge sur ce planisphère les 24 fuseaux considérés et est représenté en vert le trajet du traîneau. On se retrouve donc avec 24 «segments» (en considérant la Terre comme étant une sphère, ce ne sont bien sûr pas des segments mais des arcs de cercle) reliant les pôles Nord et Sud. On supposera que le Père Noël dispose à chaque pôle d’une station lui permettant de faire le plein, de recharger des cadeaux… voire, plus pratique, de changer de traîneau dès son arrivée pour pouvoir repartir sur le champ, ses sbires ses lutins ayant alors deux heures pour remettre le traîneau restant sur place en état de marche. Chaque segment correspont à la moitié d’une circonférence terrestre, ce qui représente une distance à parcourir de 20000 km; on se retrouve donc avec une distance totale de 480000 km.

Vitesse et accélération

Du trajet défini ci-dessus, on en déduit rapidement la vitesse moyenne du traîneau. Les 20000 km d’un méridien sont parcourus en une heure, ce qui nous donne trivialement une vitesse moyenne de 20000 km/h.

Cependant, ceci n’est qu’une vitesse moyenne. En effet, en partant d’un pôle, le traîneau part d’une vitesse nulle : il lui faut alors accélérer jusqu’à atteindre une vitesse de croisière, puis freiner juste avant son arrivée pour pouvoir s’arrêter à l’autre pôle. Et tout Père Noël qu’il soit, il ne peut pas supporter une accélération au dessus d’un certain seuil et il lui faudra donc un certain temps non négligeable pour atteindre sa vitesse de croisière.

On peut ainsi définir trois parties dans le voyage du traîneau le long d’un fuseau :

• accélération durant un certain temps que l’on notera `t_a`;
• vol à vitesse constante (et donc à accélération nulle) une fois la vitesse de croisière atteinte;
• décélération avant d’arriver au pôle, on considérera cette décélération exactement opposée à l’accélération initiale et donc également de durée `t_a`.

La valeur de l’accélération sera notée `a` et on prendra comme valeur numérique `a=39 m.s^(-2)`, correspondant à une accélération de 4g : cette valeur correspond à l’accélération normalement subie par des astronautes à bord d’un Soyouz lors de son décollage. On peut alors déterminer `a(t)`, représentant l’accélération du traîneau en fonction du temps :

• `a(t)=a` pour `0<=t<=t_a`;
• `a(t)=0` pour `t_a<=t<=t_d`;
• `a(t)=-a` pour `t_d<=t<=T`.

Instant notation : dans ces équations et celles à suivre, `t_d` est l’instant où commence la décélération et `T` la durée totale du trajet. On a défini `T=3600s` et, la décélération étant de même durée que l’accélération, on en déduit donc `t_d=T-t_a`.
Pour passer de l’accélération à la vitesse, il suffit d’un coup de primitive, ou plutôt de trois vu que l’accélération est définie en trois parties. On peut ainsi définir la fonction `v(t)` représentant la vitesse au cours du temps, toujours en trois parties.

• `v(t)=at` pour `0<=t<=t_a`.
• `v(t)=V` pour `t_a<=t<=t_d`.
• `v(t)=aT-at` pour `t_d<=t<=T`.

On n’oublie pas non plus que l’utilisation de la primitive ajoute des constantes : ici, le calcul est trivial est n’est donc pas détaillé mais ça ne sera pas le cas au tour suivant (oh, teasing) (et au pire, vous pouvez vérifier le calcul par vous même, interactivité, web 2.0, toussa toussa). C’est ainsi qu’apparaît `V` la vitesse maximale atteinte en `t_a`, ce qui nous donne `V=at_a`.

Voici une représentation graphique de cette fonction `v(t)`, définie entre `0` et `T`.

On peut passer maintenant à la fonction `x(t)`, définissant la position du traîneau le long du méridien selon le temps. Là encore, triple primitivisation (mon correcteur orthographique me dit que ce mot n’existe pas, mais ça devrait). Ce qui nous donne :

• `x(t)=(at²)/2` pour `0<=t<=t_a`;
• `x(t)=Vt+C_1` pour `t_a<=t<=t_d`;
• `x(t)=-(at²)/2+aTt+C_2` pour `t_d<=t<=T`.

La fonction `x(t)` est représentée ci-dessus. On note bien cette fois les constantes `C_1` et `C_2` apparues lors du calcul de la primitive. Il nous faut donc maintenant les calculer, en utilisant le fait que notre fonction est continue (le traîneau ne se téléporte pas lorsqu’il arrête son accélération ou entame sa décélération (dommage, ça serait rigolo)).

Ainsi, en calculant `x(t_a)`, on obtient `(at_a²)/2=Vt_a+C_1`. Après avoir rappelé que `V=at_a`, on peut dérouler le calcul.

`(at_a²)/2=at_a²+C_1`

`C_1=-(at_a²)/2`

On passe à la seconde constante, en calculant `x(t_d)`.

`Vt_d-(at_a²)/2=-(at_d²)/2+aTt_d+C_2`

`C_2=at_at_d-aTt_d-(at_a²)/2+(at_d²)/2`

`C_2=at_d(t_a-T)-(at_a²)/2+(at_d²)/2`

`C_2=-at_d²-(at_a²)/2+(at_d²)/2`

`C_2=-(at_a²)/2-(at_d²)/2`

`C_2=-(a(t_a²+t_d²))/2`

Vient enfin le moment de calculer `t_a`, qui nous permettra de déterminer tout le reste. On va utiliser pour cela la distance parcourue au total qui est de 20000 km et qui correspond donc à `x(T)`. Histoire de ne pas trop encombrer nos calculs, on notera `X=20000 km` cette distance totale, ce qui nous donne `x(T)=-(aT²)/2+aT²-(a(t_a²+t_d²))/2=X`.

`X=(aT²)/2-(a(t_a²+t_d²))/2`

`X=(a(T²-(t_a²+(T-t_a)²)))/2`

`X=(a(T²-(t_a²+T²-2Tt_a+t_a²)))/2`

`X=(a(-2t_a²+2Tt_a))/2`

`at_a²-aTt_a+X=0`

Une équation du second degré apparaît ! Cyril utilise Discriminant.

`Delta=a²T²-4aX`

On a comme valeurs numériques `a=39m*s^(-2)`, `T=3600s` et `X=2*10^7m`, ce qui nous donne `Delta=16592160000>0`. C’est très efficace ! L’équation est KO. Cyril gagne deux résultats réels : `t_a=(aT+-sqrt(Delta))/(2a)`.

D’un côté, on a `(aT+sqrt(Delta))/(2a)=3451.4s`, ce qui est problématique puisqu’on préférerait obtenir une valeur nous laissant le temps d’accélérer puis de décélérer sur la durée du trajet.

Deuxième essai : `(aT-sqrt(Delta))/(2a)=148.6s`. Beaucoup mieux, on prend !

Bonus : on peut remarquer que la somme de nos deux solutions vaut 3600 et donc que la première valeur obtenue correspond à `t_d` ! On peut aisément vérifier que remplacer `t_a` par `t_d=T-t_a` dans l’équation ne change rien à cette dernière.

On obtient donc une phase d’accélération d’environ deux minutes et demie, permettant d’atteindre la vitesse `V=at_a=5794.7m.s^(-1)=20861 km.h^(-1)` maintenue pendant 55 minutes, puis une décélération avant l’arrivée. La vitesse maximale est donc à peu près de Mach 17, produisant un léger bang supersonique.

Cadeaux

Une fois le trajet défini, passons au contenu du traîneau : les cadeaux ! Oui, mais combien de cadeaux ? Si le Père Noël est vraiment un type cool, il doit apporter un cadeau à tous les enfants de l’humanité. On considérera les morveux de 0 à 14 ans; il n’y a plus qu’à les compter. Ça tombe bien, l’ONU l’a déjà fait (United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division (2015). World Population Prospects: The 2015 Revision, custom data acquired via website, je vous laisse farfouiller pour retrouver les données). On trouve un total de 1.930.760.000 petits nenfants et donc autant de cadeaux.

Intéressons-nous aux cadeaux en eux-même maintenant. On va considérer chaque cadeau comme ayant une masse de 100g et une masse volumique équivalente à celle de l’eau (`1000 kg*m^(-3)`).

Du côté de la masse, ça nous donne un total de `1930760000xx100=193076000000g=193076t`. On peut ensuite diviser par 24 pour obtenir la quantité de cadeaux distribuée dans un fuseau horaire, ce qui nous donne 8045 tonnes par chargement.

Et niveau place, dans tout ça ? Trivial : en considérant qu’une tonne de cadeaux occupe un mètre cube au vu de la masse volumique considérée, ça nous donne 193076 m³ pour tous les cadeaux et 8045 m³ sur un fuseau.

On pourra comparer ces résultats avec un A380 par exemple, proposant environ 1200 m³ pour ses passagers et leurs bagages, pour une charge pouvant aller jusqu’à 100 tonnes.

Énergie

Le traîneau est prêt et chargé, le trajet a été défini, on peut partir maintenant ? Presque, il faut juste un peu d’énergie pour faire le trajet.

Encore une fois, la consommation du traîneau va se découper en trois phases (oui, toujours les mêmes, en même temps y a pas de raison que ça change) : accélération, maintien de la vitesse et décélération.

Commençons par étudier la phase intermédiaire du trajet, à vitesse constante. Si le traîneau voyageait dans l’espace intersidéral, il n’y aurait rien à faire mais sur Terre, il doit faire face au frottement de l’air, entraînant une force de traînée opposée à son mouvement; le traîneau va donc devoir compenser cette force. (Il y a aussi le poids du traîneau à considérer, engendrant une force verticale vers le bas; on dira que le traîneau est super badass et qu’il est taillé de telle façon que sa portance compense parfaitement son poids.)

L’intensité de cette force de traînée est `T=1/2rhoSC_xV²`, avec :

• `rho` la masse volumique de l’air, valant `rho=1.293 kg.m^(-3)`;
• `S` la section transversale du traîneau faisant face au mouvement, on a calculé juste avant un volume nécessaire de 8045 m³, on estimera donc les dimensions du traîneau à `10mxx10mxx80.45m`, ce qui nous donne une section `S=100m²`;
• `C_x` le coefficient de traînée du traîneau, on supposera que le Père Noël est super doué et a fait en sorte que son traîneau dispose d’un coefficient de traînée faible en prenant `C_x=0.01`;
• `V` la vitesse, qu’on a calculé auparavant, `V=5794.7m.s^(-1)`.

On vérifie que les unités sont uniformes, on calcule tout ça et on obtient `T=21708531N`. Ne reste plus qu’à calculer l’énergie nécessaire pour créer une force de même intensité et pour cela, il suffit de multiplier `T` par la distance sur laquelle est appliquée cette force. Alors alors, cette distance `d` est parcourue à la vitesse `V` sur une durée `T-2t_a`; mon petit doigt me dit qu’on a `d=V(T-2t_a)=19138735m`. Notre énergie consommée lors de la phase à vitesse constante est donc `E_c=Td=4.1547*10^(14)J=115410 MWh`.

L’énergie nécessaire pour l’accélération, maintenant. On ne va pas tenir compte de la traînée dans cette partie, d’une part parce que ce post est déjà bien trop long mais surtout parce que, avec une vitesse qui n’est plus constante, ça devient chiant à calculer (comment ça, la flemme ? :p). Donc, pour donner une accélération `a` à notre traîneau, il faut lui appliquer une force d’intensité `F_a=ma`. On a toujours `a=39m.s^(-2)`. Pour la masse, il s’agit de la masse du traîneau, c’est à dire de la masse des cadeaux et de celle du traîneau à vide. On va de nouveau faire l’analogie avec un A380 et considérer une masse à vide équivalente; on estimera ainsi la masse du traîneau à vide à 300 tonnes. Ce qui nous donne `m=8.345*10^6 kg`. On obtient donc au final `F_a=325455000N`. Cette force s’applique lors de l’accélération, soit sur une distance `d’=(20000000-d)/2=430632.5m`. L’énergie consommée lors de l’accélération est donc `E_a=F_ad’=1.402*10^(14)J=38944 MWh`.

La décélération, ça ressemble beaucoup à l’accélération. Même distance d’application, même intensité (une décélération, c’est juste une accélération dans le sens opposé au mouvement, ça ne change rien à notre calcul); la seule différence, c’est que notre traîneau est désormais vide. On a donc `m=3*10^5kg`, `F_d=ma=11700000N` et on obtient au final `E_d=F_dd’=5.038*10^(12)J=1399 MWh`

Notre consommation totale d’énergie lors du trajet le long d’un fuseau est donc `E=E_a+E_c+E_d=155753 MWh=5.607*10^(14)J`.  Après que Wikipédia nous a indiqué qu’il s’agissait de près du double de la production électrique annuelle du Togo, essayons de voir comment produire ça en une heure.

Déjà, on peut essayer de brûler des trucs. On a déjà comparé notre traîneau avec un avion, alors essayons le kérosène. Celui-ci a un pouvoir calorifique de 43,15 MJ par kilogramme; un coup de règle de trois nous permet de voir qu’il faudrait embarquer 12994 tonnes de kérosène, soit plus que le poids des cadeaux… Trouvons autre chose : ce qui donne pas mal d’énergie en brûlant, c’est l’hydrogène avec un pouvoir calorifique de 121 MJ/kg. Ça fait quand même 4634 tonnes d’hydrogène à embarquer.

Du coup, à quoi bon se trimballer des quantités gigantesques de trucs à brûler ? Et si on produisait de l’énergie à partir de panneaux solaires ? Bah malheureusement non : déjà, vu que le Père Noël passe aux alentours de minuit dans chaque fuseau, la quasi intégralité trajet se fait de nuit et donc sans Soleil (on peut juste espérer un peu de lumière du côté du Pôle Sud). Et aussi, vu que le rendement d’un panneau solaire est au mieux de 160 kWh par m² et par an, il nous faudrait 8527 km² de panneaux, soit quasiment la superficie de Porto Rico ou à peu près 80 fois la superficie de Paris… Si jamais nous venait l’idée de stocker toute cette énergie dans des batteries, nouvelle désillusion : les meilleures batteries actuelles, encore au stade de la recherche et développement, permettent d’obtenir 2,5 kWh par kilogramme; il y aurait donc besoin de 62300 tonnes de batteries…

On a essayé de brûler de l’hydrogène mais il y a quelque chose de mieux à faire : le fusionner. Plus précisément fusionner ses isotopes que sont le deutérium (un neutron en plus) et le tritium (deux neutrons en plus) : la fusion d’un atome de deutérium et d’un atome de tritium donne un atome d’hélium, un neutron et 17,6 MeV. L’électron-volt (eV) est l’unité pratique permettant de mesurer l’énergie au niveau atomique; on a `1eV=1.602*10^(-19)J`, il nous faut donc produire `3.5*10^33 eV` pour faire avancer notre traîneau.

Quoi, vous pensiez que les ordres de grandeur employés jusqu’à présent n’étaient pas assez abusés 😀 ? Allez, on va réduire tout ça en considérant l’énergie produite par une mole de deutérium et une mole de tritium. Une mole, ça contient `6.022*10^23` éléments, la fusion de nos moles de deutérium et de tritium permet donc de produire `6.022*10^23xx17.6*10^6=1.06*10^31eV`. Il ne nous suffit donc que de 330 moles de deutérium et autant de tritium pour pouvoir nous fournir l’énergie nécessaire, ce qui représente une masse totale de… 1650 grammes ! Et en plus, la réaction produit 330 moles d’hélium, soit 7,4 m³ avec des conditions normales de température et de pression, de quoi gonfler plein de ballons ! OK, on pourra opposer à cette solution que la seule application de la fusion nucléaire maîtrisée et appliquée par l’Homme est la bombe H, que la production d’énergie par fusion nucléaire en est encore au stade expérimental et qu’on est très très loin de pouvoir mettre un réacteur du genre dans un traîneau…

Conclusion

Résumons.

• Le Père Noël va effectuer 24 trajets, alternativement Pôle Nord→Pôle Sud et Pôle Sud→Pôle Nord. Chacun de ces trajets dure une heure et couvre un fuseau horaire, sur une distance de 20000 km. Afin d’éviter un temps de maintenance technique à chaque arrivée à un pôle, on supposera l’existence de plusieurs traîneaux, le Père Noël se contentant de changer de traîneau à chaque étape.
• Sur chacun de ces trajets, son traîneau est chargé avec 80448000 cadeaux, à distribuer à autant d’enfants. Ces cadeaux occupent un volume de 8045 m³, pour une masse de 8045 t. On laissera à la sagacité du lecteur le problème suivant : comment distribuer plus de 22000 cadeaux par seconde, tout en volant à 20000 km/h ?
• Pour parcourir un fuseau en une heure, le traîneau doit subir une accélération de 4g durant une durée de deux minutes et 28 secondes afin d’atteindre sa vitesse de croisière de 20861 km/h. Il maintient cette vitesse durant 55 minutes et 4 secondes avant d’entamer sa décélération, là aussi à 4g et sur une durée de 2 minutes 28 secondes.
• L’énergie nécessaire pour le parcours d’un fuseau à cette vitesse est de 560,7 TJ ou 155,753 GWh. La solution envisagée la moins encombrante pour produire cette énergie est de doter le traîneau d’un réacteur à fusion nucléaire réalisant la fusion de 660 grammes de deutérium et de 990 grammes de tritium.

On en déduit donc que le Père Noël est un gros geek, branché à fond sur les dernières technologies. Il aime voler à fond les ballons et produire des quantités d’énergie phénoménales pour profiter de ses joujoux. Il doit donc avoir un énorme compte en banque pour pouvoir se payer tout ce matos et il en profite au passage pour offrir des cadeaux et du rêve aux enfants du monde entier.

En voyant tout cela…

Mais oui, c’est limpide maintenant !

Le Père Noël…

C’est Elon Musk !