Divagations

Quoi, comment ça, ça fait putaclic ? :p S’il faut ça pour intéresser aux maths, ça vaut le coup ^^.

10. `0,9999…=1`

Allez, on commence en jouant avec des infinis, tranquille. La démo peut se faire simplement et rapidement : posons `x=0,9999…`, on a alors `10x=9,9999…`, `9x=10x-x=9,9999…-0,9999…=9` et donc `x=1`. De manière plus sérieuse, `0,9999…` est égale à la somme des termes de la suite géométrique de premier terme `0,9` et de raison `0,1` et vaut donc `0.9/(1-0.1)=1`.

9. `3^2+4^2=5^2`

Le premier triplet pythagoricien, `(3, 4, 5)`, qui est tellement pratique pour tracer facilement un triangle rectangle. La vie serait énormément plus dure s’il n’existait pas un tel triplet aussi simple.

8. `sum_(n=0)^oo 1/2^n=2`

La somme infinie qui a fait cauchemarder les Grecs de l’Antiquité, en particulier Zénon d’Élée, auteur du paradoxe d’Achille et de la tortue. Le valeureux Achille défie une tortue, deux fois plus lente que lui, à la course. Magnanime, il donne à l’animal de l’avance, en ne lui laissant que la moitié de la distance totale à parcourir. La course démarre, Achille atteint rapidement le point de départ de la tortue mais, entretemps, celle-ci a avancé. Quand Achille atteint ce point, la tortue est un peu plus loin. Et ainsi de suite, ce qui fait qu’Achille ne parvient jamais à rattraper la tortue…
La paradoxe est levée dès qu’on ose tripoter la somme infinie : soit `S=sum_(n=0)^oo 1/2^n`. En extrayant le premier terme de la somme, on obtient `S=1+sum_(n=1)^oo 1/2^n`. Or, cette dernière somme correspond à `1/2+1/4+1/8+…` : en prenant les termes dans leur ordre d’apparition, chaque terme est égal à la moitié du terme correspondant dans `S=1+1/2+1/4+…`; cette somme est donc égale à `S/2`. Notre équation se simplifie donc en `S=1+S/2`, qui permet d’obtenir rapidement `S=2` : Achille rattrape donc la tortue sur la ligne, à la suite d’une infinité d’étapes donnant un résultat fini.

7. `1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…)))`

Une célébrité se cache dans cette égalité : il s’agit de `varphi`, le nombre d’or, égal à `(1+sqrt(5))/2`. Dans ce qui nous intéresse ici, `varphi` est le nombre positif dont le carré est égal à lui-même plus un et est donc solution de l’équation `x^2=x+1`. Ce qui nous donne plusieurs possibilités de triturages en partant de `varphi^2=varphi+1`.
En divisant par `varphi`, on obtient `varphi=1+1/varphi`. On remplace le `varphi` dans le terme de droite par le terme de droite en entier, ce qui donne `varphi=1+1/(1+1/varphi)`. On peut ensuite continuer à volonté, pour obtenir `varphi=1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))`.
Deuxième option : on passe les deux termes de l’équation à la racine carrée, ce qui donne `varphi=sqrt(1+varphi)`. Le même procédé qu’au dessus, nous donne `varphi=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…)))`.

6. `(x-a)(x-b)(x-c)…(x-z)=0`

Parce qu’on peut se prêter à la galéjade de temps en temps 😀 .

5. `sum_(n=1)^oo n=-1/12`

Celle-là, elle laisse rarement indifférent, entre ceux qui connaissent et la sortent souvent et ceux qui ne connaissent pas et se demandent comment c’est possible. Déjà, disclaimer : oui, la somme est clairement divergente, aucun souci là dessus. Mais si jamais on veut attribuer une valeur finie à cette somme, il y a plusieurs moyens de trouver `-1/12`; en voici un pas trop compliqué.
Soit `A=1-1+1-1+1-1+…`. On a `A=1-(1-1+1-…)=1-A` et donc `A=1/2`. Posons maintenant `B=1-2+3-4+…`. On lui rajoute une seconde fois B, en faisant la somme terme à terme mais en décalant d’un cran : `2B=1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+…`. En réduisant, on obtient `2B=1-1+1-1+…=A=1/2` et donc `B=1/4`.
En notant `S` notre somme finale, on calcule `S-B=(1-1)+(2-(-2))+(3-3)+(4-(-4))+…=4+8+…`. Ce qui donne `S-B=4xx(1+2+…)=4S`, d’où on tire `S=-B/3=-1/12`.

4. `e^(ipi)+1=0`

Un classique, connue comme étant la plus belle formule du monde, qui a comme particularité de réunir en une égalité les trois principales opérations arithmétiques (l’addition, la multiplication et l’exponentiation) et cinq des nombres les plus renommés des mathématiques :

• `0`, élément neutre de l’addition et élément absorbant de la multiplication;
• `1`, élément neutre de la multiplication;
• `pi`, que je ne vais pas faire l’affront de présenter, lié à la géométrie;
• `e`, base du logarithme;
• `i`, unité des nombres imaginaires.

3. `sum_(i=0)^n i^3=(sum_(i=0)^n i)^2`

J’adore le fait que les carrés et les cubes soient liés comme ça. En plus, la démonstration est pas compliquée et se fait par récurrence, du coup je me la refais de temps en temps, dont acte.
Après avoir trivialement vérifié l’égalité pour `n=0`, soit `n in NN` tel que `sum_(i=0)^n i^3=(sum_(i=0)^n i)^2` et regardons ce qu’on obtient pour `n+1`.
`(sum_(i=0)^(n+1) i)^2=((n+1) + sum_(i=0)^(n) i)^2=(sum_(i=0)^n i)^2 + 2(n+1)sum_(i=0)^n i + (n+1)^2`.
`(sum_(i=0)^(n+1) i)^2=sum_(i=0)^n i^3 + 2(n+1)((n(n+1))/2) + (n+1)^2=sum_(i=0)^n i^3 + (n+1)^2(n+1)`.
`(sum_(i=0)^(n+1) i)^2=sum_(i=0)^n i^3 + (n+1)^3=sum_(i=0)^(n+1) i^3`.
Par les pouvoirs qui me sont conférés par le raisonnement par récurrence, je déclare l’égalité vraie `AAn in NN`.

2. `9^3+10^3=1^3+12^3`

Le nombre en question est 1729, aussi connu sous le nom de Taxicab(2), désignant ainsi le fait qu’il s’agit du plus petit nombre pouvant être écrit comme somme de deux cubes de deux manières différentes. Le nom de taxicab vient d’une anecdote impliquant Hardy, rendant visite à son collègue Ramanujan, alité à l’hôpital. Pour entamer la conversation, il lui dit qu’il était venu à bord du taxicab n°1729, un nombre bien peu intéressant. Ramanujan lui répliqua qu’il s’agissait au contraire d’un nombre très intéressant, le plus petit s’écrivant comme deux sommes de deux cubes.

1. `sum_(n=1)^oo 1/(n^2)=pi^2/6`

Je m’abstiendrais de faire une démonstration ici, bien plus complexe que celles qui ont été faites dans cet article. Mais ce que je trouve fascinant dans cette égalité, c’est l’unification des mathématiques (en tout cas d’une partie) qu’elle représente.
Le premier terme est une somme contenant l’ensemble des entiers naturels, représentants de l’arithmétique. Le second terme est lié à `pi`, constante liée au cercle et à la géométrie. On se retrouve donc avec une équation simple et élégante liant l’arithmétique et la géométrie, liant `pi` et les entiers naturels, qui ont pourtant l’air si différents.