Il y a quelques jours, j’ai vu passer un tweet de Bruce Benamran «s’indignant» d’une question du concours Kangourou.

Kangourou Q7 2016 1S-TS: combien d’entiers sont strictement compris entre 2015*2017 et 2016²?

— Roger Mansuy (@roger_mansuy) 9 octobre 2016

De mémoire c’est un truc auquel on peut répondre sans calcul en classe de 4ème… https://t.co/5nxEFrOTy2

— Bruce Benamran (@epenser) 9 octobre 2016

On peut en effet aisément résoudre le problème grâce à une identité remarquable apprise au collège : `(a+b)(a-b)=a²-b²`. En l’appliquant à notre cas, on en déduit que 2015×2017=2016×2016-1 et donc que les deux entiers en question sont consécutifs.

Tout cela m’emmène à ces quelques réflexions.

• Plus de 80% des gens ayant répondu au sondage ont reconnu l’identité remarquable, c’est déjà pas mal mais quand même un peu triste si l’on considère que c’est l’une des formules les plus remarquables (il faut bien justifier le nom) vues au collège.
• Par contre, plus de la moitié des gens ayant reconnu l’identité n’ont pas su exploiter correctement le résultat : la différence entre les deux entiers est de 1, il n’y a donc pas d’entiers strictement compris entre eux; comme le dit le dicton, «sans maitrîse, la puissance n’est rien».
• Cette question est même accessible à un élève de primaire, qui pourra voir que 2015×2017 se termine par un 5 (dernier chiffre de 5×7), que 2016×2016 se termine par un 6 avec le même raisonnement et donc qu’il n’y a qu’une seule des réponses qui peut être correcte.

Mais je trouve surtout que c’est un joli exemple montrant qu’on peut facilement trouver des relations entre les nombres. Et quand on est un peu arithmomaniaque comme moi, on voit très (très) souvent des relations apparaître un peu partout, des décompositions en facteurs premiers dans des plaques d’immatriculation, des puissances dans des prix… jusqu’à ce que le monde devienne un terrain de jeu numérique, où l’on se demande qu’est ce qui peut lier les deux nombres qui sont en face de soi (et c’est cool ^^).

Et ça permet aussi de remarquer que la méthode bourrine n’est pas forcément la meilleure (même si ç’est rigolo de calculer les deux produits de tête, faites-moi d’ailleurs penser de parler de calcul mental ici à un moment). Autre exemple avec une autre question du même sujet du concours Kangourou :

Si `x^2-4x+2=0`, alors combien vaut `x+2/x` ?

• -4
• -2
• 0
• 2
• 4

Indice : la réponse rédigée tient largement dans un tweet :).

Bonus caché