Au dos des tickets de jeux de grattage est indiqué un tableau des lots à gagner pour ce jeu. Certes, il n’a pas du tout la forme d’un tableau, mais ça permet de calculer des trucs \o/.

Voici donc le tableau des lots du jeu Astro. On peut aisément en déduire le gain moyen : 1,32€. Première remarque : le jeu coûtant 2€, on est content pour la Française des Jeux, qui sait déjà que son lot de tickets lui rapportera près de six millions d’euros. On notera aussi que cette valeur de 1,32€ ne représente rien pour le joueur, qui ne gagnera jamais cette somme. Démonstration :

Voilà, raté. Vous pouvez acheter 2, 10 ou 100 tickets, vous n’atteindrez jamais les 1,32€. Vous avez cependant vos chances avec beaucoup, beaucoup plus de tickets. Ça, c’est la loi des grands nombres qui nous le dit. C’est complètement évident avec un jeu de grattage qui ne permet qu’un nombre limité de tirages (allez-y, achetez tous les tickets existants, je vous regarde) mais c’est tout de suite plus rigolo avec un lancer de dés, par exemple.

Voici une petite expérience : nous allons simuler des lancers de deux dés à six faces équilibrés; le résultat obtenu est donc compris entre 2 et 12.

Voici les résultats d’une simulation de 50 lancers, montrant le nombre de fois où chaque valeur a été obtenue.

D’où l’intérêt de simuler les tirages : si on les fait vraiment, on se fait chier et on est déçu du résultat obtenu au final :D. Car là, on n’obtient rien de cohérent : le 7, qui est censé être la valeur la plus probable, est largement devancé par ses voisins. Au nom de la loi des grands nombres, augmentons notre échantillon pour obtenir quelque chose de plus sympa.

Voilà, avec 500 tirages, c’est déjà mieux. On commence à distinguer notre bien connue courbe en cloche, même si elle est loin d’être parfaite.

Et c’est peut-être ce qui m’émerveille le plus dans l’univers des statistiques et des probabilités, et qui fait qu’elles sont mal comprises : notre cerveau, qui n’est confronté qu’à un faible nombre d’évènements, ne comprend pas le hasard. Voir que même le hasard, qui nous paraît complètement désordonné, peut être défini avec des lois strictes me fascine. Sur la calculatrice que j’utilisais au lycée, il y avait un programme qui simulait des lancers de dés, de pièces ou des tirages de cartes, avec affichage des résultats sous forme graphique avec mise à jour en temps réel au fur et à mesure, selon les tirages obtenus; je pouvais passer de longues minutes à lancer des tirages, à voir des résultats désordonnés au début mais qui finissaient par s’arranger comme il faut au final.

Concernant les jeux de grattage, vous pouvez y voir que l’intérêt d’y jouer est faible vu le gain moyen, ou au contraire penser que la probabilité de gagner n’est pas si mauvaise que ça. Sur ce point, je vous laisse vous faire votre avis ;).